当前位置:厦大考研网 >> 专业课备考 >> 数学科学学院专业课备考>>厦门大学数学科学学院数学分析教学大纲

厦门大学数学科学学院数学分析教学大纲

来源:passxmu.com   作者:聚英厦大考研网  浏览:2301  发布时间:2014/7/10

数学分析教学大纲 

一、集合映射与函数(12学时) 

实数概念、绝对值不等式、区间与邻域、有界集、确界与确界原理、函数概念、函数的几种表示法(解析法、列表法和图像法等),函数的四则运算、复合函数、反函数、基本初等函数、初等函数。具有某些特性的函数(有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数)。 

二、数列极限(12学时) 

数列、数列极限的 定义,收敛数列——唯一性、有界性、保号性、不等式性、夹逼性、四则运 算,单调有界数列极限存在定理。柯西准则,重要极限 。 

、实数的完备性(14学时) 

区间套定理,数列的柯西(Cauchy)收敛准则,聚点原理,有界数列存在收敛子列,有限覆盖定理,闭 区间上连续函数性质的证明。实数完备性基本定理的等价性 * ,上极限和下极限 * 。 

、函数极限(16学时) 

函数极限。 定义, 定义,单侧极限,函数极限的性质——唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性、夹逼性、四则运算、Heine 定理。函数极限的柯西准则。两个重要的极限公式,无穷小量无穷大量及其阶的比较,记号 o,O,非正常极限,渐近线。 

、函数的连续性(14学时) 

函数在一点的连续性、单侧连续性、间断点及其分类。在区间上连续的函数,连续函数的局部性质——有界性、保号性。连续函数的四则运算。复合函数的连续性。闭区间上连续函数的性质——有界性、取得最大值最小值性、介值性、一致连续性、反函数的连续性,初等函数连续性。 

、导数和微分(16学时) 

引入问题(切线问题与瞬时速度问题)。导数定义,单侧导数、导函数、导数的几何意义、费马( Fermat)定理。和、积、商的导数、反函数的导数、复合函数的导数、初等函数的导数、参变量函数的导数、高阶导数、微分概念、微分的几何意义、微分的运算法则、一阶微分形式不变性、微分在近似计算中的 应用,高阶微分。 

、微分中值定理及其应用(24学时) 

柯西(Cauchy)中值定理,不定式极限,洛比达(L'Hospital)法则,泰勒(Taylor)定理。(泰勒公式及其皮亚诺余项与拉格朗日余项)。近似计算,极值、最大值与最小值。曲线的凸凹性。拐点,函数图的讨论。方程近似解 * 。 

八、不定积分(12学时) 

原函数与不定积分概念,基本积分表,线性运算法则,换元积分法、分部积分法,有理函数积分法,三角函数有理式的积分法,几种简单无理根式的积分。 

九、定积分(18学时) 

引入问题(曲边梯形面积与变力作功)。定积分定义,定积分的几何意义,牛顿——莱布尼茨公式,可积的必要条件,可积的充要条件,可积函数类。定积分性质——线性运算法则、区间可加性、不等式性质、绝对可积性,积分中值定理,微积分学基本定理。换元积分法,分部积分法,泰勒公式的积分型余项。上和与下和的性质 * 。 

十、定积分的应用(10学时) 

简单平面图形面积。有平行截面面积求体积,曲线的弧长与微分、曲率 * 。微元法、旋转体体积与侧面积,物理应用(液体静压力、引力、功、平均功率等)。定积分近似计算 * 。 

十一、反常积分(14学时) 

无穷限反常积分概念、柯西准则,线性运算法则,绝对收敛、无穷限反常积分收敛性判别法:比较判别法,狄利克雷(Dirichlet)判别法,阿贝尔(Abel)判别法。无界函数反常积分概念,无界函数反常积分收敛性判别法。 

十二、数项级数(12学时) 

级数收敛与和的定义,柯西准则,收敛级数的基本性质,正项级数比较原则。比式判别法与根式判别法、积分判别法、拉贝(Raabe)判别法 * 。一般项级数的绝对收敛与条件收敛,交错级数,莱布尼茨判别法,狄利克雷(Dirichlet)判别法,阿贝尔(Abel)判别法。绝对收敛级数的重排定理。 

十三、函数列与函数项级数(14学时) 

函数列与函数项级数的收敛与一致收敛概念,一致收敛的柯西准则。函数项级数的维尔斯特拉斯(Weierstrass)优级数判别法,狄利克雷(Dirichlet)判别法,阿贝尔(Abel)判别法,函数列极限函数与函数项级数和的连续性、逐项积分与逐项求导。 

十四、幂级数(12学时) 

幂级数的收敛半径与收敛区间,一致收敛性、连续性、逐项积分与逐项求导,幂级数的四则运算。 

泰勒级数、泰勒展开的条件,初等函数的泰勒展开、近似计算、复变量指数函数与欧拉(Euler)公式 * 。 

Euclid空间上的极限和连续(14学时) 

平面点集概念(邻域、内点、界点、开集、闭集、开域、闭域),平面点集的基本定理——区域套定理、聚点原理、有限覆盖定理。 

二元函数概念。二重极限、累次极限,二元函数的连续性、复合函数的连续性定理、有界闭域上连续函数的性质。 

、多元函数的微分学(32学时) 

偏导数及其几何意义,全微分概念,全微分的几何意义,全微分存在的充分条件,全微分在近似计算中的应用,复合函数的偏导数与全微分,一阶微分形式不变性,方向导数与梯度,混合偏导数与其顺序无关性,高阶导数,高阶微分,二元函数的泰勒定理,二元函数的极值。 隐函数定理及其应用隐函数求导隐函数组概念、隐函数组定理、隐函数组求导、反函数组与坐标变换,条件极值与拉格朗日乘数法。 

、重积分(20学时) 

二重积分定义与存在性,二重积分性质,二重积分计算(化为累次积分)。二重积分的换元法(极坐标与一般变换)。 

三重积分定义与计算,三重积分的换元法(柱坐标、球坐标与一般变换)。 

重积分应用(体积,曲面面积,重心、转动惯量、引力等)。 

反常重积分 * 。 

无界区域上的收敛性概念 * 。无界函数反常二重积分 * 。  

、曲线积分曲面积分(26学时) 

第一型和第二型曲线积分概念与计算,两类曲线积分的联系 * 。 

曲面的侧。第一型和第二型曲面积分概念与计算,格林(Green)公式,曲线积分与路径无关条件。高斯公式。斯托克斯公式。 

十九、场论初步 * (场的概念、梯度场、散度场、旋度场、管量场与有势场)。 

十、含参量积分(14学时) 

含参量积分概念、连续性、可积性与可微性,积分顺序的交换。 

含参量反常积分的收敛与一致收敛,一致收敛的柯西准则。维尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法。连续性、可积性与可微性,积分顺序的交换 * ,T函数与B函数。 

、傅里叶(Fourier)级数(14学时) 

三角级数、三角函数系的正交性、傅里叶(Fourier)级数,贝塞尔(Bessel)不等式,黎曼——勒贝格定理,按段光滑且以2p为周期的函数展开,傅里叶级数的收敛定理,以2L为周期的函数的傅里叶级数,奇函数与偶函数的傅里叶级数,收敛定理的证明。 

实施本大纲是说明:

1. 陈纪修等编写的数学分析上下册,是面向21世纪课程教材本教学大纲以此教材为蓝本来制定。 本课程是进一步学习复变函数论、微分方程、微分、概率论、实数函数与泛函分析等后继课程的先修基础课程。 

2. 本课程总教学时数为342学时,其中讲授课与习题课之比约为2:1(括号内的时数包括习题课时数)。 

3. 在不影响基本要求的情况下,本大纲所列各单元讲授顺序和时数安排,可作适当调整。 

4.  本大纲列入带*号的内容供选学。 

 

聚英厦大考研网2020年真题解析班上线

联系方式

×